Версия 20:01, 7 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

                                                     ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН

Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вычитать, перемножать и даже возводить в степень, обсудили. Но ведь имеется еще одна арифметическая операция — деление. Вот об этом и поговорим.
Пример 1. Опираясь на свойства арифметических действий, попытаемся выполнить деление одночленов:

Решение, а) Воспользуемся тем, что если произведение двух чисел делят на третье число, то можно разделить на это число один из множителей
и полученное частное умножить на другой множитель. (Вспомнили? Например, 10a:3 = (12:3) • 4= 4• 4 = 16
 Имеем:
10a:2 =( 10:2)• a = 5a.
б) Рассуждая, как и в примере а), получаем:

18ab: 3a =(18 :3) •(a: a)b =6•1•b =6b
в) 36a³b⁵ : 4ab² = (36 : 4)-(a³ : a)•(b⁵ : b²) = 9a^3-1 • b^5-2 = = 9a²b³.
Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дроби. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в):

г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т. е. и знак деления, и черту дроби:

Здесь все верно, но, как говорят математики, нерационально, поскольку сразу было ясно, что х3у2г : х3у2г = 1 (фактически выражение делится само на себя).
д)
2х2
2ху 2 х у ~ у у '
Это не одночлен, значит, разделить 4ж3 на 2ху
нельзя (в том смысле, чтобы в частном получился
одночлен).
е) И эта задача невыполнима, так как мы пока
не умеем делить при одном и том же основании степень с мень-
шим показателем на степень с большим показателем. (В
Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались
корректными, а два (последние) — некорректными (этот термин
мы ввели в § 11).
Проанализируем теперь решенные примеры и попробуем с по-
мощью этого анализа выяснить, когда можно разделить одночлен
на одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен.
Первое наблюдение. Оба одночлена (и делимое, и делитель)
должны быть записаны в стандартном виде (впрочем, об этом мы
условились еще в § 10).
Второе наблюдение. В делителе не должно быть перемен-
ных, которых нет в делимом (по этой причине мы «споткнулись»
ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
Третье наблюдение. Если в делимом и делителе есть одна и
та же переменная, причем в делимом она возводится в степень п,
а в делителе — в степень k, то число k не должно быть больше
числа п (поэтому мы «споткнулись» в примере 1е).
Четвертое наблюдение. Коэффициенты делимого и делите-
ля могут быть любыми (поскольку мы умеем делить друг на
друга любые числа, кроме, разумеется, деления на нуль).
Значит, если вам предложат разделить одно-
член на одночлен, то сначала убедитесь, что задача
корректна, т. е. проведите указанные наблюдения и
убедитесь, что все в порядке. В случае, когда задача
корректна, решайте ее по образцу примера 1.
Пример 2. Упростить 48a4b5ced : 36ab3c6.
Р е ш е н и е. 1) Оба одночлена (и делимое, и делитель) записа-
ны в стандартном виде.
2) В делимом фигурируют переменные а, Ъ, с, d, в делителе а, Ъ, с.
Лишних переменных в делителе нет.
3) В делителе нет степеней больших, чем у одноименных пере-
менных в делимом.
Вывод: задача корректна, будем ее решать.
Имеем:
48a465c6d
36aft3c6
48 а* б5 с6 . 4
¦^ •—• — • — 'd= ~
, 6 _ . _ -b2-l-d=-=-a3b2d. <¦
оо a b3 с6 3 3
Вы чувствуете, что в § 12, как и в § 10, есть
недоговоренность? А что же все-таки делать, если
одночлен на одночлен не разделился? Разве мы за-
страхованы от такой ситуации? Поэтому матема-
тики ввели новый объект — алгебраическую дробь
(вспомните, ведь и обыкновенные дроби появились
из-за того, что не любые два натуральных числа
делятся друг на друга; например, 14 делится на 7, а
3 не делится на 7. Как записывается ответ во втором случае? Он
3
записывается в виде обыкновенной дроби —). Такая алгебраичес-
кая дробь встретилась нам ранее, в примере 1д) — это было выраже-
50
ние —— . И, конечно, математики научились оперировать с этими
if
новыми объектами — алгебраическими дробями. Мы будем изу-
чать их в курсе алгебры 8 класса.

_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 7 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.