Версия 08:12, 8 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Формулы сокращенного умножения

                                                                       ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.

1. Квадрат суммы и квадрат разности:
Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)².

Имеем:
(а + b)² = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а² + аЬ + аЬ + b² = а² + 2аЬ + b².

Аналогично получаем:

(a - b)² = (а-b)(а-b) = а²-аb-bа + b² = а²- 2аb + b².

Итак,

На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (Зх + 2)²;

б) ( 5а² - 4b³)²

Решение.

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b — число 2.
Получим:

(Зх + 2)² = (Зх)²+ 2 • Зх • 2 + 2² = 9x² + 12x + 4.

б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли а выступает5а², а в ролиb выступает 4b³. Получим:

(5а²-4b³)²= (5а²)² - 2- 5a² • 4b³ + (4b³)²= 25a⁴-40a²b³ + 16b⁶.

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b)² = (а + b)²;
( b-a )² = ( a-b )².

Это следует из того, что (- а)² = а².

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле

71² = (70 + 1)² = 70² + 2 • 70 • 1 + I² = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91² = (90 + I)²= 90² + 2 • 90 • 1 + I² = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69² = (70 - I)² = 70² - 2 • 70 • 1 + I² = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,

102² = (100 + 2)² = 100² + 2 • 100 • 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48² = (50 - 2)² = 50² - 2 • 50 • 2 + 2² = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 85².

Имеем:

85² = (80 + 5)² = 80² + 2• 80 • 5 + 5² =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Замечаем, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35² = 1225  (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);
65² = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).

Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)². Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его
площадь равна а²), квадрат со стороной b (его площадь равна b²), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)² = а² + b² + 2аb, т. е. получили формулу (1).

2. Разность квадратов

Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а² - аb + bа - b² = а² - b².
Итак

Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е.
правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение
(а + b) (а - b) готовым результатом а² - b². Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а² - b² произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.

 Замечание. Не путайте термины «разность квадратов»
к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а2 - ft2,
Щ значит, речь идет о формуле C); квадрат разности — это
? (a- ftJ, значит речь идет о формуле B).
На обычном языке формулу C) читают «справа
налево» так:
к разность квадратов двух чисел (выражений)
щ равна произведению суммы этих чисел (выраже-
щ ний) на их разность,
f Пример 2. Выполнить умножение
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у) - (З*J - BуJ - 9z2 - 4j/2. <¦
Пример 3. Представить двучлен 16л:4 - 9 в виде произведе-
ния двучленов.
Решение. Имеем: 16л:4 = Dл:2J, 9 = З2, значит, заданный
двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить
формулу C), прочитанную справа налево. Тогда получим:
16л:4 - 9 = Dл:2J - З2 = Dл:2 + 3) Dл:2 - 3). <¦
Формула C), как и формулы A) и B), используется для мате-
матических фокусов. Смотрите:
79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Завершим разговор о формуле разности квадратов любопыт-
ным геометрическим рассуждением. Пусть а и & — положитель-
ные числа, причем а > Ъ. Рассмотрим прямоугольник со сторона-
ми а + Ъ и а - Ъ (рис. 5). Его площадь равна (а + Ъ) (а - Ъ). Отрежем
прямоугольник со сторонами Ъ и а - Ъ и подклеим его к оставшейся
части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигу-
ра имеет ту же площадь, т. е. (а + Ъ) (а - Ь). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со
стороной Ъ (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой
Ь
I
а-Ь
a-b
a
Рис.
1
1
5
ь
а-Ь
Ь а-Ь
а-Ь
а
Рис.6
фигуры равна а2 - Ь2. Итак, (а + Ь) (а - &> = а2 - Ъ2, т. е. получили
формулу C).
3. Разность кубов и сумма кубов
Умножим двучлен а - Ъ на трехчлен а2 + ab + b2.
Получим:
(о - Ь) (а2 + ab + Ь2) = а • аг + а • ab + а • Ь2 - b • а2 - Ъ ¦ аЪ -
-Ь-Ь2 = а3 + а2Ъ + аЪг-а2Ъ-аЬ2-Ъ3 = а3-Ъ3.
Аналогично
(а + Ъ) (а2 - аЪ + Ъг) = а3 + &3
(проверьте это сами).
Итак,
(а 4- Ъ) (а2 - аЪ + Ь2) = а3 + Ъ3.
D)
E)
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
разность кубов
сумма кубов
полный квадрат
суммы
(разности)
неполный
квадрат суммы
(разности)
Формулу D) обычно называют разностью кубов,
формулу E) — суммой кубов.
Попробуем перевести формулы D) и E) на обыч-
ный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что
выражение a2 + ab + b2 похоже на выражение
а2 + 2ab + Ь2, которое фигурировало в формуле A) и
давало (а + ЬJ; выражение а2 - ab + b2 похоже на
выражение а2 - 2ab + Ь2, которое фигурировало в
формуле B) и давало (а - ЬJ.
Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений
друг от друга, каждое из выражений а2 + 2ab + Ь2 и
а2 - 2ab + Ь2 называют полным квадратом (суммы
или разности), а каждое из выражений а2 + ab + b2
и а2 - ab + b2 называют неполным квадратом (сум-
мы или разности). Тогда получается следующий пе-
ревод формул D) и E) (прочитанных «справа нале-
во») на обычный язык:
разность кубов двух чисел (выражений) равна
произведению разности этих чисел (выражений)
на неполный квадрат их суммы;
сумма кубов двух чисел (выражений) равна про-
изведению суммы этих чисел (выражений) на не-
полный квадрат их разности.
Замечание. Все полученные в этом параграфе форму-
лы A)-E) используются как слева направо, так и справа
налево, только в первом случае (слева направо) говорят,
что A )-E) — формулы сокращенного умножения, а во
втором случае (справа налево) говорят, что A)-E) —
формулы разложения на множители.
Пример 4. Выполнить умножение Bх- 1)Dд^ + 2х +1).
Решение. Так как первый множитель есть разность одно-
членов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их сум-
мы, то можно воспользоваться формулой D). Получим:
Bх - 1) D*2 + 2х + 1) = B*K - I3 = 8*3 - 1.
Пример 5. Представить двучлен 27а6 + 8&3 в виде произве-
дения многочленов.
Решение. Имеем: 27ав = (За2K, 8&3 = B&K. Значит, задан-
ный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить фор-
мулу E), прочитанную справа налево. Тогда получим:
27ав + 8&3 = (За2K + B&K = (За2 + 2Ь) ((За2J - За2 • 2Ь +
+ BЬJ) = (За2 + 2Ь) (9а4 - 6а2Ь + 4&2). <1

_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 7 класса скачать, календарно-тематическое планирование}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.