Версия 12:19, 8 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Способ группировки

                                                                СПОСОБ ГРУППИРОВКИ

Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Разложить на множители многочлен
2а² + 6а + ab + 3b.

Решение. Объединим в одну группу первые два члена, а в другую — последние два члена многочлена:

(2а² + 6а) + (аb + 3b).
Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а, a во второй группе b. Имеем: 2а (а + 3) + b (а + 3). Теперь мы видим, что «проявился» общий множитель (а + 3), который можно вынести за скобки. В результате получим: (а + 3)(2а + b).

Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался обширными комментариями, приведем еще раз решение, но уже без комментариев:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + 6а) + (аb + 3b) =
= 2а (а + 3) + b(а + 3) = (а + 3) (2а + b).

Объединение членов многочлена 2а² + 6а + аЬ + 3b в группы можно осуществить различными способами. Однако нужно учитывать, что иногда такая группировка оказывается удачной для последующего разложения на множители, а иногда нет. Проведем эксперимент. Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого многочлена, а в другую группу — второй и четвертый:

2а² + 6а + аЬ + 3b= (2а² + аb) + (6а + 3b) =
= а (2а + b) + 3(2а + b) = (2а + b) (а + 3).
Разложение на множители получилось, группировка оказалась удачной.

Теперь объединим в одну группу первый и четвертый члены, а в другую — второй и третий:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + 3b) + (6a+ab) =(2a² +3b) +a(6 + b)

Эта группировка явно неудачна.
Подведем итоги. Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется. Иногда удается такая группировка, что в каждой группе после вынесения общих множителей в скобках остается один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда гово-
рят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки.

Пример 2. Разложить на множители
ху-6 + 3у-2у.
Решение.
Первый способ группировки:
ху - 6 + Здг - 2у - (ху - 6) + C* - 2у).
Группировка неудачна.
Второй способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у = (ху + Зх) + (- 6 - 2у) -
= дг (у + 3) - 2 (у + 3) = (у + 3) (х - 2).
Третий способ группировки:
ху - 6 + Здг - 2у = (ху - 2у) + (- 6 + Здг) =
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Ответ: ху - 6 + Здг - 2у = (х - 2) (у + 3).
Как видите, не всегда с первого раза группиров-
ка оказывается удачной. Если группировка оказа-
лась неудачной, то откажитесь от нее, ищите иной
способ. По мере приобретения опыта вы будете бы-
стро находить удачную группировку, как это сде-
лано в следующем примере.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
аЪ2 - 2аЪ + За + 2Ь2 - 4& + 6.
Решение. Составим три группы: в первую включим пер-
вый и четвертый члены, во вторую — второй и пятый, в третью —
третий и шестой:
аЪ2 - 2аЪ + За + 2Ъ2 - 4Ъ + 6 = (аЪг + 2Ъ2) + (- 2аЪ - АЬ) +
+ (За + 6) = Ъ2(а + 2) - 2Ъ(а + 2) + 3(а + 2).
Во всех группах оказался общий множитель (а + 2), который
можно вынести за скобки. Получим:
(о + 2) (Ъ2 -2Ь + 3).
Иногда полезно проверить себя, т.е. в полученном разложе-
нии на множители выполнить операцию умножения многочленов
(раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получится тот
многочлен, который был задан. А если нет? Тогда надо искать
ошибку в разложении на множители.
Пример 4. Разложить на множители многочлен дг2 - 7дг + 12.
Решение. Наверное, вы думаете: какое отношение имеет
этот пример к способу группировки, ведь здесь и группировать-то
нечего? Это верно, но можно сделать небольшой фокус: если пред-
ставить слагаемое - 7х в виде суммы - Зх - 4дг, то получится сум-
ма уже не трех (как в заданном многочлене), а четырех слагае-
мых. Эти четыре слагаемых можно распределить по двум груп-
пам. Итак,
х2 - 7дг + 12 - х2 - Здг - 4л: + 12 = (х2 - Зх) + (- 4л: + 12) =
= *(дг-3)-4(дг-3) = (л:-3)(л:-4). (В
Пример 5. Решить уравнение:
а) л:2 -7х +12 = 0; б) дг3 - 2л:2 + Зл: - 6 = 0.
Р е ш е н и е. а) Разложим трехчлен я;2 - 7х + 12 на множите-
ли так, как это сделано в примере 4:
х2 - 7х + 12 = (х - 3) (х - 4).
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде
(дг - 3) (дг - 4) = 0. Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два
корня: х = 3, дг = 4.
б) Разложим многочлен х3 - 2дг2 + Заг - 6 на множители. Име-
ем: х3 - 2х2 + Зх - 6 = (ж3 - 2л;2) + (Зл; - 6) = л:2(д: - 2) + 3(х - 2) =
= (х - 2) (л:2 + 3).
Перепишем теперь заданное уравнение в виде:
(х - 2) (л:2 + 3) = 0.
Так как произведение равно нулю, то равен нулю один из мно-
жителей. Но дг2 + 3 при любых значениях х является положитель-
ным числом, т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может
выполняться только равенство дг - 2 = 0, откуда получаем дг = 2.
Ответ: о) 3,4; 6J.

_{Планирование по математике , учебники и книги онлайн, курсы и задачи по математике для 7 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.