Версия 15:22, 8 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Сокращение алгебраических дробей

                                                      СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ  ДРОБЕЙ

Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби.
Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернемcя к § 12. Обсуждая там деление одночлена на  одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим  два из них.

1. Разделить одночлен 36а³Ь⁵ на одночлен 4ab² (см. пример 1в) из §12).
Решали мы его так. Вместо записи 36а³Ь⁵: 4аЬ² использовали
черту дроби:

Это позволило вместо записей 36 : 4, а³ : а, b⁵ : b² также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:

2. Разделить одночлен 4x³ на одночлен 2ху (см. пример 1 д) из § 12). Действуя по тому же образцу, мы получили:

В § 12 мы отметили, что одночлен 4x³ не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели реальных ситуаций могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Предвидя это, математики ввели новое понятие — понятие алгебраической дроби. В частности, алгебраическая дробь. Теперь вернемся к § 18. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 18 речь шла о делении двучлена бх³ - 24x² на одночлен 6х². Эта операция оказалась выполнимой и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит,

Иными словами, алгебраическое выражение «— удалось
6х
заменить более простым выражением — многочленом х - 4.
В то же время в примере 3 из § 18 не удалось разделить много-
член 8о3 + Ьа2Ъ - Ъ на 2а2, т. е. выражение s ¦ не удалось
2а
заменить более простым выражением, пришлось так и оставить
его в виде алгебраической дроби.
Что же касается операции деления многочлена на многочлен,
то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что
мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на
другой, если этот другой многочлен является одним из множите-
лей в разложении первого многочлена на множители.
Например, х3 - 1 = (х - 1) (х2 + х + 1). Значит, х3 - 1 можно
разделить на х2 + х + 1, получится х - 1; х3 - 1 можно разделить
на х - 1, получится х2 + х + 1.

многочленов Р и Q. При этом используют запись
q , где Р — числитель, Q — знаменатель алгебра-
ической дроби.
алгебраическая Примеры алгебраических дробей:
дробь
2х2 8a3+6a2b-b х+у
2а*
х~у'
Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом.
Например, как мы уже установили ранее,
6s3-24s2
б*2
х-4
(многочлен бдг3 - 24дг2 удалось разделить на бдг2, при этом в част-
ном получается дг - 4); мы также отмечали, что
Х2+Х+1
-х-1.
Но так бывает сравнительно редко.
Впрочем, похожая ситуация уже встречалась
вам — при изучении обыкновенных дробей. Напри-
* 24
мер, дробь — можно заменить целым числом 4, а
* 40 г « 32
дробь — целым числом 5. Однако дробь — це-
о Z4
лым числом заменить не удается, хотя эту дробь
можно сократить, разделив числитель и знаменатель
о « - 32 4
на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: -zj = т« 
Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив
одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий мно-
житель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель
дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так
долго обсуждали в этой главе.
Пример. Сократить алгебраическую дробь:
а)
б)
a2+2ab+b2
(а+b) (а-Ь)'
в)
х2-.
ху
х*~хи
Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов
12х3у* и 8х2уЛ так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда
12*У = 4*У • Зх; 8*У - 4*У • 2у.
Значит,
я,.*
12х"у
4ж V
л.<
2у'
Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби со-
кратили на общий множитель 4х2у*.
Решение этого примера можно записать по-другому:
8х V 8 * х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у "
б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена-
тель на множители. Получим:
a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ
(а+Ь) (а-Ь) ~ (a+b) (a-b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ
(дробь сократили на общий множитель а + Ъ).
А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Види-
те, данное там обещание мы наконец-то смогли вы-
полнить.
в) Имеем:
х2-ху = х(х-у) х(х-у) = 1
х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 '
(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя,
т. е. на х (дг - у)), d
Итак, для того чтобы сократить алгебраическую
к дробь, нужно прежде всего разложить на множите-
^ ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в
Щ этом новом деле (сокращении алгебраических дро-
f бей) в основном зависит от того, как вы усвоили
материал предыдущих параграфов этой главы.

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 7 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.