Версия 18:36, 8 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Координатная прямая

                                                           КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ

В конце главы 1 мы говорили о том, что в курсе алгебры нам с вами надо учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая или, как чаще говорят математики, аналитическая модель), графически (графическая или геометрическая модель). Весь первый раздел
учебника (главы 1-5) был посвящен изучению математического языка, с помощью которого описываются аналитические модели.

Начиная с главы 6 мы будем изучать не только новые аналитические, но и графические (геометрические) модели. Они строятся с помощью координатной прямой, координатной плоскости. Эти понятия вам немного знакомы из курса математики 5-6 классов.

Прямую /, на которой выбрана начальная точка О (начало отсчета), масштаб (единичный отрезок, т. е. отрезок, длина которого считается равной 1) и положительное направление, называют координатной прямой, или координатной осью (рис. 7); употребляют также термин «ось х".

Каждому числу соответствует единственная точка прямой. Например, числу 3,5 соответствует точка М (рис. 8), которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении. Числу -4 соответствует точка Р (см. рис. 8), которая удалена от точки О на расстояние, равное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.

Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.

Например, точка К, удаленная от точки О на расстояние 5,4 в положительном (заданном) направлении, соответствует числу 5,4, а точка N, удаленная от точки О на расстояние 2,1 в отрицательном направлении, соответствует числу - 2,1 (см. рис. 8).

Указанные числа называют координатами соответствующих точек. Так, на рис. 8 точка К имеет координату 5,4; точка Р — координату -4; точка М — координату 3,5; точка N — координату -2,1; точка О — координату 0 (нуль). Отсюда и происходит название — «координатная прямая». Образно выражаясь, координатная прямая — это густо заселенный дом, жильцы этого дома — точки, а координаты точек — это номера квартир, в которых живут точки- жильцы.

Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точку числом, а число — точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да, есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны две точки: А — с координатой о и В — с координатой Ь (обычно в таких случаях пишут короче:
А(а), В(Ь)). Пусть нам надо найти расстояние d между точками А и В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометрические измерения, достаточно воспользоваться готовой формулой d = (а - b) (вы изучали ее в 6 классе).
Так, на рисунке 8 имеем:

Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились вместо длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая координату а», использовать короткую фразу: «точка а», и, соответственно, на чертеже рассматриваемую точку обозначать ее координатой. Так, на рисунке 9 изображена координатная прямая, на которой отмечены точки - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5,4.

Координатная прямая дает нам возможность свободно переходить с алгебраического языка на геометрический и обратно. Пусть, например, число а меньше числа Ь. На алгебраическом языке это записывается так: а < b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Впрочем, и алгебраический, и геометрический языки — это разновидности одного и того же математического языка, который мы с вами изучаем.

Познакомимся еще с несколькими элементами математического языка, которые связаны с координатной прямой.

1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой правее точки а, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 10). Это множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают (о, +»), где знак +оо читается: «плюс бесконечность»; оно характеризуется неравенством х > а (под дг понимается любая точка луча).

Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит, а eсли же эту точку надо присоеди-нить к открытому лучу, то пишут х > о или [о, + оо) ( перед а ставят не круглую, а квадратную скобку), а на чертеже такую точку обозначают не светлым, как на рис. 10,

а закрашенным кружком (рис. 11).

Если про множество точек (а, +°о) говорят, что это — открытый луч, то для [о, + оо) употребляют термин луч (без прилагательного «открытый»).

2. Пусть на координатной прямой отмечена точка Ь. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой левее точки Ь, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 12).

Это множество точек (чисел) также называют открытым лучом и обозначают (-оо, о), где знак — оо читается: «минус бесконечность».
Оно характеризуется неравенством х < Ь. Снова обращаем ваше внимание на то, что точка b открытому лучу не принадлежит. Если же мы эту точку хотим присоединить к открытому лучу, то будем писать х < Ъ или (- оо, Ь] и, соответственно, на чертеже точку b закрашивать (рис. 13);

для (- оо, Ь] также будем употреблять термин луч.

3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и Ь, причем а < b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки Ы отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Это множество а B X
Ш""
Рис. 15
а Ь х
A44VW.4UW w
Рис. 16
a b х
Рис. 17
Ъ х
Рис. 18
a b х
Рис. 19
луч
открытый луч
интервал
отрезок
полуинтервал
числовой
промежуток
(чисел) называют интервалом и обозначают (а, Ь).
Оно характеризуется строгим двойным неравен-
ством a < х < b (под х понимается любая точка
интервала).
Обратите внимание: интервал (а, Ь) есть пересе-
чение (общая часть) двух открытых лучей (-оо, Ь)
и (а, + оо) — это хорошо видно на рисунке 15.
Если к интервалу (а, Ь) добавить его концы,
т. е. точки о и Ь, то получится отрезок [а, Ь] (рис.
16), который характеризуется нестрогим двой-
ным неравенством а < х < Ь. Обратите внимание:
в обозначении отрезка используют не круглые
скобки, как это было в обозначении интервала, а
квадратные; на чертеже точки а и & отмечены
темными кружками, а не светлыми, как это было
в случае интервала.
Отрезок [а, Ь] есть пересечение (общая часть)
двух лучей (-оо, Ь] и [о, +оо) — это хорошо видно
на рисунке 17.
А что получится, если к интервалу (а, Ь) добавить
только один конец — только точку а (рис. 18) или
только точку b (рис. 19)? Получится полуинтервал,
который в первом случае обозначают [о, &), а во вто-
ром — (а, Ь\ и который характеризуется с помощью
двойных неравенств: a < х < b — в первом случае,
a < х < b — во втором случае.
Итак, мы ввели пять новых терминов матема-
тического языка: луч, открытый луч, интервал,
отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: чис-
ловые промежутки.
Сама координатная прямая также считается
числовым промежутком; для нее используют обо-
значение (-оо, +оо).
Сводная таблица числовых промежутков
Геометрическая
модель
о х
а х
Ъ х
Ъ х
a b х
a b x
a b x
a b x
Обозначение
(a, +«>)
[O, +°o)
(-«>,&)
(-oo, b]
(a,b)
ta,b]
[a,b)
(a,b]
Название
числового
промежутка
открытый луч
луч
открытый луч
луч
интервал
отрезок
полуинтервал
полуинтервал
Аналити-
ческая
модель
х> a
x>a
х<Ъ
х<Ъ
a<x<b
a<x<b
a<x<b

_{Математика за 7 класс бесплатно скачать, планы конспектов уроков, готовимся к школе онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.