Версия 15:26, 9 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Метод подстановки

                                                        ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, Ь, с — конкретные числа, причем — переменные (неизвестные).
Примеры линейных уравнений с двумя переменными:
2х - bу + 1 = 0;
х + у - 3 = 0;
s - 5t + 4 = 0
(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).

В том же § 28 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у.

Приведем примеры:
1. (2; 3) — решение уравнения 5x + Зу - 19 = 0. В самом деле, 5 • 2 + 3 • 3 - 19 = 0 — верное числовое равенство.
2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) -2 + 14 = 0 — верное числовое равенство.
3. — решение уравнения - 0,4а: + Зу + 7 = 0. Имеем:

— верное числовое равенство.
4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2*1-3*2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство
(получается, что -3 = 0).
В § 29 мы отмечали, что математическую модель ах + by +
+ с = 0 всегда можно заменить более простой: у = kx + т. Напри-
мер, уравнение Зх - 4у + 12 = 0 можно преобразовать так:
4у - Sx + 12;
3
Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0 является пря-
мая (см. § 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетво-
ряют уравнению ах + by + с = 0, т. е. являются решением уравне-
ния. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько
же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком
уравнения ах + by + с = 0, т. е. бесконечное множество решений.
Многие реальные ситуации при переводе на математический язык
оформляются в виде математической модели, состоящей из двух
линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы
встретились в § 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова:
математическая модель состояла из двух уравнений:
5а: - 2у = 0 и Sx + 2у - 16 = 0, причем нас интересовала такая пара
значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и дру-
гому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что матема-
тическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что мате-
матическая модель представляет собой систему уравнений.
Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя перемен-
ными х и у: atx + bty + cx = 0 и агх + b2i/ + с2 = 0 и поставлена задача
— найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удов-
летворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные
уравнения образуют систему уравнений. Уравнения
системы записывают друг под другом и объединяют
специальным символом — фигурной скобкой:
система
уравнений
решение
системы
уравнений
Пару значений (х; у), которая одновременно яв-
ляется решением и первого, и второго уравнений
системы, называют решением системы.
Решить систему — это значит найти все ее ре-
шения или установить, что их нет.
Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой
линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой
задачи про садоводов из § 28 выглядела так:
B)
Ее решением была пара B; 5), т. е. х = 2, у = 5.
Рассмотрим новые примеры.
Пример 1. Решить систему уравнений
0. C)
Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является пря-
мая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяю-
щих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0
находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 нахо-
дим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: E; 0) и @; 2,5). Построим на
координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две
точки, — прямая lt на рисунке 70.
Графиком уравнения 2х + \у + 3 = 0 также является прямая.
Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих это-
му уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + ±у + 3 = 0 находим:
х = -1,5. Если х — 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим:
5 + 4у + 3 = 0, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки:
(-1,5; 0) и B,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу пря-
мую, проходящую через эти две точки, — прямая 12 на рисунке 70.
Прямые lt и 12 параллельны. Что означает этот геометрический
факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет реше-
ний (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому,
и другому уравнению, т.е. принадлежащих одновременно и той, и
другой из построенных прямых 1г и 12).
Ответ: система не имеет решений.
Пример 2. Найти два числа, если известно, что их сумма
равна 39, а разность равна 11.
Решение. Если х, у — искомые числа, то х + у = 39
и!-р 11, причем эти равенства должны одновременно выпол-
няться:
+ У = 39, D)
х-у = П.
Получили систему двух линейных уравнений с двумя пере-
менными.
Можно угадать, чему равны х и у: х = 25, у = 14. Но, во-первых,
метод угадывания далеко не всегда применим на практике. А во-
вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы про-
сто до него не додумались, не «доугадали».
Моэт^но построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это
прямые, причем непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1),
они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: B5; 14);
значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единствен-
ное решение системы.
Ответ: 25и 14.
•
1,
У)
S
�
ь
J 1
ч,
}
V
1 1
S
>
В примерах 1 и 2 мы применили графический
метод решения системы линейных уравнений. Этим
же методом мы пользовались в § 28 при решении зада-
чи о числе яблонь у двух садоводов (система B) реше-
на в § 28 графическим методом).
К сожалению, графический метод, как и метод
угадывания, не самый надежный. Во-первых, пря-
мые могут просто не уместиться на чертеже. Во-
вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но
пересечься в точке, координаты которой по черте-
жу не очень легко определить.
Пример 3. Решить систему уравнений:
Рис.70
7 = 0. <5>
Решение. Построим графики уравнений
системы. Сначала, как это чаще всего мы делаем,
преобразуем оба уравнения к виду линейной функ-
ции. Из первого уравнения получаем: у = 3* - 5, а из
второго: у = 7 - 2х.
Построим в одной системе координат графи-
ки линейных функций у = За: - 5 (прямая lt на
рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они
пересекаются в точке А, координаты которой —
единственное решение заданной системы. А вот
чему конкретно равны абсцисса и ордината точ-
ки Л, мы по рисунку 71 точно определить не смо-
жем (постройте эти прямые в своих тетрадях в
клеточку и убедитесь, что точка А как бы «ви-
сит» внутри определенной клеточки). Придется
нам позднее вернуться к этому примеру. О
Но все-таки графический метод решения системы линейных
уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать
следующие важные выводы'.
графиками обоих уравнений системы A) являются прямые;
эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, —
это значит, что система A) имеет единственное решение (так было
в рассмотренных в этом параграфе системах B), D), E);
эти прямые могут быть параллельны — это зна-
чит, что система не имеет решений (говорят также,
что система несовместна — такой была система C));
эти прямые могут совпасть — это значит, что сис-
тема имеет бесконечно много решений (говорят также,
что система неопределенна).
Итак, мы познакомились с новой математичес-
кой моделью A) — системой двух линейных уравне-
неопределенная HHg с двумя переменными. Наша задача — научить-
система ся ее решать. Метод угадывания ненадежен, графи-
ческий метод также выручает не всегда. Значит, нам
нужно располагать надежными алгебраическими методами решения
системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и
пойдет речь в следующих параграфах.


146

_{Математика для 7 класса, учебники и книги по математике скачать, библиотека онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.