|
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Числовые и алгебраические выражения
ЧИСЛОВЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами, решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика». В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины — свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.
Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача — помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача — не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.
На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.
Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 — числовое выражение, тогда как 3 + : — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алго
ритмы, формулы, теоремы.
Пример 1. Упростить числовое выражение:
Решение. Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном при-
мере будет таким:
1) найдем значение А выражения в первых скобках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;
2) найдем значение В выражения во вторых скобках:
3) разделим А на Б — тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);
4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
D = 25-37-0,4;
5) разделим С на D — это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина
успеха!), приступим к его реализации.
1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впро-
чем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:
(2,73 + 3,27) + D,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.
А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математичес-
кие факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера
(причем не просто вспомнить, но и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: а + Ь = Ь + а.
3. Переместительный закон умножения: ab = Ъа.
4. Сочетательный закон сложения:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = а(Ьс).
6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби,
отрицательного числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
л ас
9. Основное свойство обыкновенной дроби: - = (значение
о ос
дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновре-
менно умножить на одно и то же число или разделить на одно и то
же число, отличное от нуля). Это свойство позволило нам преоб-
.26 2
разовать дробь — к виду — (числитель и знаменатель дроби —
5 i-O ¦ О
одновременно умножили на одно и то же число 3). Оно же позво-
лило нам сократить дробь —— (числитель и знаменатель дроби
370
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
15
370
одновременно разделили на одно и то же число 5).
10. Правила действий с положительными и отрицательными
числами.
Все это вы знаете, но ведь все это — алгебраические факты.
Таким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже со-
стоялось в младших классах. Основная трудность, как видно уже
из примера 1, заключается в том, что таких фактов довольно
много, причем их надо не только знать, но и уметь использовать,
как говорят, «в нужное время и в нужном месте». Вот этому и
будем учиться.
И последнее, чтобы закончить обсуждение при-
мера 1. То число, которое получается в результате
упрощений числового выражения (в данном при-
3
мере это было число - —), называют значением
74
числового выражения.
Если дано алгебраическое выражение, то можно
говорить о значении алгебраического выражения,
но только при конкретных значениях входящих в
него букв. Например, алгебраическое выражение
a + Ъ при a = 5, Ъ = 7 имеет значение 12 (поскольку
а + Ь = 5 + 7 = 12); при a = -16, Ъ = -14 оно имеет
значение -30 (так как a + Ь = -16 + (-14) = -16 -14=
= -30). Алгебраическое выражение а2 - 3& (что та-
кое а2, помните? — это а • а) при а = -2, Ь = 0,4 при-
значение ' * I „ J\ Л
алгебраического нимает вид числового выражения (-2)z - 3 • 0,4; уп-
рощая, получаем: 4 - 1,2 = 2,8 — это и есть значе-
ние алгебраического выражения а2 - 36 при а = -2,
Ь = 0,4.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выра-
жения, можно придавать различные числовые значения (т.е. мож-
но менять значения букв), эти буквы называют переменными.
Пример 2. Найти значение алгебраического выражения
а2 + 2оЬ + о2
(а + Ъ) (а - Ъ)'
о о
если: а)а = 1, Ь = 2; б)а = 3,7, Ь = - 1,7; в)а = —, Ъ= —.
5 5
Решение.
а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим:
1) а2 + 2аЪ + Ъ2 = I2 + 2 • 1 • 2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9;
2)а + Ь=1 + 2 = 3;
3)а-Ь=1-2 = -1;
4) (а + Ъ) (а - Ь) = 3 • (- 1) = - 3;
а2 + 2ab + Ь2
5*
_
(а + Ь) (а - Ь) ~ -3
_
б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно
находим:
1) а2 + 2аЬ + Ь2 = 3,72 + 2 • 3,7 • (-1,7) + (-1,7J =
= 13,69-12,58 + 2,89 = 4;
2) а + Ь = 3,7 + (-1,7) = 2;
4) (a + b) (a - b) = 2 • 5,4 = 10,8;
a2 + 2ab + b* 4 _ 4'10 _ JO_
' (a + b) (a - b) = 10,8 ~ 103*10 ~ 108
10
27
40
(разделили числитель и знаменатель дроби гг— на 4, т. е. сокра-
lUo
тили дробь).
в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно нахо-
дим:
2аЬ+Ь2 = Ь
3 3
5 ' 5
_9_ 18 _9_ = 36
25 25 25 25'
3) a - b =
= 0;
6
4) (а + Ь) (а - Ь) = - • 0 =
5
о.
А на нуль делить нельзя! Что это значит в дан-
ном случае (и в других аналогичных случаях)? Это
3 3
значит, что при а= —,Ъ= -: заданное алгебраичес-
кое выражение не имеет смысла. ®
Используется такая терминология: если при конкретных зна-
чениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет чис-
ловое значение, то указанные значения переменных называют до-
пустимыми; если же при конкретных значениях букв (перемен-
ных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные
значения переменных называют недопустимыми.
Так, в примере 2 значения о = 1 и Ь = 2, а = 3,7 и
3
Ъ = -1,7 — допустимые, тогда как значения a = - и
3
Ъ = — — недопустимые (более точно: первые две
о
недопустимое
значение
переменной
пары значений — допустимые, а третья пара зна-
чений — недопустимая).
Вообще, в примере 2 недопустимыми будут
такие значения переменных а, Ь, при которых либо
а + Ъ — 0, либо а - Ь = 0. Например, a = 7, Ь = - 7
или a = 28,3, Ъ = 28,3 — недопустимые пары значе-
ний; в первом случае a + Ь = 0, а во втором случае
a - Ъ = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере
выражения обращается в нуль, а на. нуль, повторим еще раз, де-
лить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как
допустимые пары значений для переменных а, Ъ, так и недопус-
тимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте!
Замечание 1. Пример 2в) на самом деле мы решали пло-
хо (некультурно), поскольку сделали ряд лишних, ненужных
3
вычислений. Надо было сразу заметить, что при о = г и
о
g
Ь- знаменатель обращается в нуль, и объявить: выраже-
О
ние не имеет смысла! Но, как говорится, сразу замечает
тот, кто знает, что надо замечать. Этому и учит алгебра.
Замечание 2. Если бы мы с вами решали пример 2 по-
зднее, то сделали бы это лучше. Мы бы смогли преобразо-
a + b
вать выражение к более простому виду —- , а тогда, со-
а —о
гласитесь, гораздо проще было бы и вычислять. А вот по-
аг + 2аЬ + Ь2 а + Ь
чему верно равенство (а + ь) {а _ ь)
а-Ь1
пока мы ска-
зать не можем. На этот вопрос ответим позднее (в § 25).
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
