Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Формулы сокращенного умножения

                                                                       ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.
1. Квадрат суммы и квадрат разности:
Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)².

Имеем:
(а + b)² = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а² + аЬ + аЬ + b² = а² + 2аЬ + b².

Аналогично получаем:

(a - b)² = (а-b)(а-b) = а²-аb-bа + b² = а²- 2аb + b².

Итак,

На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:

а) (Зх + 2)²;

б) ( 5а² - 4b³)²

Решение.

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b — число 2.
Получим:

(Зх + 2)² = (Зх)²+ 2 • Зх • 2 + 2² = 9x² + 12x + 4.

б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли а выступает5а², а в ролиb выступает 4b³. Получим:

(5а²-4b³)²= (5а²)² - 2- 5a² • 4b³ + (4b³)²= 25a⁴-40a²b³ + 16b⁶.

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b)² = (а + b)²;
( b-a )² = ( a-b )².

Это следует из того, что (- а)² = а².

Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле

712 = G0 + 1J = 702 + 2 • 70 • 1 + I2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
912 = (90 + IJ = 902 + 2 • 90 • 1 + I2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
692 = G0 - IJ = 702 - 2 • 70 • 1 + I2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчиваю-
щееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,
1022 = A00 + 2J = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 =
= 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
482 = E0 - 2J = 502 - 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведе-
нием в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 852.
Имеем:
-80 (80+ 10)+ 25=
= 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить
8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогич-
но можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225
C*4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);
652 = 4225; 1252 = 15625 A2 «13 = 156 и к полученному числу
приписали справа 25).
Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обсто-
ятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формула-
ми A) и B), то дополним этот разговор следующим геометричес-
ким рассуждением. Пусть а и & — положительные числа. Рас-
смотрим квадрат со стороной а + & и вырежем в двух его углах
квадраты со сторонами, соответственно равными а и & (рис. 4).
Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + &J. Но этот квад-
рат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его
площадь равна а2), квадрат со стороной & (его площадь равна &2),
два прямоугольника со сторонами а и & (площадь каждого такого
прямоугольника равна ab). Значит, (а + ЪJ = а2 + Ъ2 + 2аЪ, т. е.
получили формулу A).
2. Разность квадратов
Умножим двучлен а + b на двучлен а - Ь. Получим:
(а + Ь) (а - Ь) = а2 - аЪ + Ъа - Ъ2 = а2 - Ъ2.
Итак»
( (о + ft) (о - Ъ) = а2 - ft2.J
C)
разность
квадратов
Любое равенство в математике употребляется
как слева направо (т.е. левая часть равенства заме-
няется его правой частью), так и справа налево (т.е.
правая часть равенства заменяется его левой час-
тью). Если формулу C) использовать слева напра-
во, то она позволяет заменить произведение
(а + &) (а - Ъ) готовым результатом а2 - Ъ2. Эту же
формулу можно использовать справа налево, тогда
она позволяет заменить разность квадратов а2 - Ъ2 произведением
(а + Ъ) (а - Ъ). Формуле C) в математике дано специальное назва-
ние — разность квадратов.
к Замечание. Не путайте термины «разность квадратов»
к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а2 - ft2,
Щ значит, речь идет о формуле C); квадрат разности — это
? (a- ftJ, значит речь идет о формуле B).
На обычном языке формулу C) читают «справа
налево» так:
к разность квадратов двух чисел (выражений)
щ равна произведению суммы этих чисел (выраже-
щ ний) на их разность,
f Пример 2. Выполнить умножение
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у) - (З*J - BуJ - 9z2 - 4j/2. <¦
Пример 3. Представить двучлен 16л:4 - 9 в виде произведе-
ния двучленов.
Решение. Имеем: 16л:4 = Dл:2J, 9 = З2, значит, заданный
двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить
формулу C), прочитанную справа налево. Тогда получим:
16л:4 - 9 = Dл:2J - З2 = Dл:2 + 3) Dл:2 - 3). <¦
Формула C), как и формулы A) и B), используется для мате-
матических фокусов. Смотрите:
79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Завершим разговор о формуле разности квадратов любопыт-
ным геометрическим рассуждением. Пусть а и & — положитель-
ные числа, причем а > Ъ. Рассмотрим прямоугольник со сторона-
ми а + Ъ и а - Ъ (рис. 5). Его площадь равна (а + Ъ) (а - Ъ). Отрежем
прямоугольник со сторонами Ъ и а - Ъ и подклеим его к оставшейся
части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигу-
ра имеет ту же площадь, т. е. (а + Ъ) (а - Ь). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со
стороной Ъ (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой
Ь
I
а-Ь
a-b
a
Рис.
1
1
5
ь
а-Ь
Ь а-Ь
а-Ь
а
Рис.6
фигуры равна а2 - Ь2. Итак, (а + Ь) (а - &> = а2 - Ъ2, т. е. получили
формулу C).
3. Разность кубов и сумма кубов
Умножим двучлен а - Ъ на трехчлен а2 + ab + b2.
Получим:
(о - Ь) (а2 + ab + Ь2) = а • аг + а • ab + а • Ь2 - b • а2 - Ъ ¦ аЪ -
-Ь-Ь2 = а3 + а2Ъ + аЪг-а2Ъ-аЬ2-Ъ3 = а3-Ъ3.
Аналогично
(а + Ъ) (а2 - аЪ + Ъг) = а3 + &3
(проверьте это сами).
Итак,
(а 4- Ъ) (а2 - аЪ + Ь2) = а3 + Ъ3.
D)
E)
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
разность кубов
сумма кубов
полный квадрат
суммы
(разности)
неполный
квадрат суммы
(разности)
Формулу D) обычно называют разностью кубов,
формулу E) — суммой кубов.
Попробуем перевести формулы D) и E) на обыч-
ный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что
выражение a2 + ab + b2 похоже на выражение
а2 + 2ab + Ь2, которое фигурировало в формуле A) и
давало (а + ЬJ; выражение а2 - ab + b2 похоже на
выражение а2 - 2ab + Ь2, которое фигурировало в
формуле B) и давало (а - ЬJ.
Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений
друг от друга, каждое из выражений а2 + 2ab + Ь2 и
а2 - 2ab + Ь2 называют полным квадратом (суммы
или разности), а каждое из выражений а2 + ab + b2
и а2 - ab + b2 называют неполным квадратом (сум-
мы или разности). Тогда получается следующий пе-
ревод формул D) и E) (прочитанных «справа нале-
во») на обычный язык:
разность кубов двух чисел (выражений) равна
произведению разности этих чисел (выражений)
на неполный квадрат их суммы;
сумма кубов двух чисел (выражений) равна про-
изведению суммы этих чисел (выражений) на не-
полный квадрат их разности.
Замечание. Все полученные в этом параграфе форму-
лы A)-E) используются как слева направо, так и справа
налево, только в первом случае (слева направо) говорят,
что A )-E) — формулы сокращенного умножения, а во
втором случае (справа налево) говорят, что A)-E) —
формулы разложения на множители.
Пример 4. Выполнить умножение Bх- 1)Dд^ + 2х +1).
Решение. Так как первый множитель есть разность одно-
членов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их сум-
мы, то можно воспользоваться формулой D). Получим:
Bх - 1) D*2 + 2х + 1) = B*K - I3 = 8*3 - 1.
Пример 5. Представить двучлен 27а6 + 8&3 в виде произве-
дения многочленов.
Решение. Имеем: 27ав = (За2K, 8&3 = B&K. Значит, задан-
ный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить фор-
мулу E), прочитанную справа налево. Тогда получим:
27ав + 8&3 = (За2K + B&K = (За2 + 2Ь) ((За2J - За2 • 2Ь +
+ BЬJ) = (За2 + 2Ь) (9а4 - 6а2Ь + 4&2). <1

_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 7 класса скачать, календарно-тематическое планирование}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.