Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

                           РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой! и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать к план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт.  Вот такие комбинированные примеры мы и рас смотрим в данном параграфе.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

36a⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64а²b⁵.

Решение.

1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это — наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная а (соответственно а⁶, а⁴, а²), поэтому за скобки можно вынести а².
Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно Ь³, Ь⁴, Ь5) — за скобки можно вынести Ь³.

Итак, за скобки вынесем 4а²Ь³. Тогда получим:

36a⁶b⁶ - 96a⁴b⁴ + 64a2b⁵ = 4a²b³(9a⁴ - 24a2b + 16b²).

2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a⁴ - 24a²b + 16b². Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9а⁴ - 24а²Ь + 16b² = (За²)² + (4b)² - 2 • За² • 4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a⁴ - 24a²b + 16b² = (За² - 4b)².

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
36a⁶b³ - 96a⁴b⁴ + 64a²b⁵ = 4a²b³(3a² - 4b)².

Пример 2. Разложить на множители: а2- с2 + b? + 2ab.
Решение. 1) Сначала попробуем воспользоваться способом
группировки. До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на груп-
пы по парам (см. § 21). Здесь это не проходит. Действительно,
а2-с2 + Ь2 + 2аЬ = (а2 - с2) + (b2 + 2ab) =
= (а-с)(а + с) + Ь(Ь + 2а).
Эта группировка неудачна, нет общего множителя.
Попробуем по-другому:
а2-с2 + Ъ2 + 2аЪ - (а2 + Ь2) + (- с2 + 2ab)
— здесь также ничего хорошего нет.
Третья попытка:
а2-с2 + Ъ2-? 2аЪ = (a2 + 2ab) + (-с2 + Ь2) =
= а (а + 2Ь) + (Ь - с) (Ъ + с)
— и здесь нет общего множителя.
Однако все-таки способ группировки в этом
к примере сработает. Ведь ниоткуда не следует, что
щ группировать слагаемые можно только по парам,
Ш это можно сделать и так:
Г а2-с2 + Ь2 + 2аЬ = (a2 + 2ab + Ь2) -с2 = (а + ЪJ - с2.
Теперь вы отчетливо видите структуру данного
многочлена: разность квадратов.
2) К полученному выражению применим формулу разности
квадратов:
)(( ) ) ( )( )
Итак, комбинируя два приема (группировку и использование
формул сокращенного умножения — квадрат суммы и разность
84
квадратов), мы получили окончательный результат:
о2 - с2 + Ъ2 + 2аЪ = (а + Ь - с) (о + Ъ + с). (В
Пример 3. Разложить на множители: дг4 + 4у*.
Решение. Проанализируем структуру данного двучлена.
Что такое дг4? Это (дг2J. Что такое 4у*7 Это Bу2J. Значит, имеем
сумму квадратов (дг2J + Bу2J. Обычно, увидев сумму квадратов
двух выражений (чисел, одночленов, многочленов), математик
ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы
получить полный квадрат. В данном случае таким удвоенным
произведением будет 2 • дг2 • 2у2, т.е. 4х2у2. Но его в примере нет.
Что же делать?
Прибавим к заданному многочлену то, что нам нужно, но, что-
бы ничего не изменилось, тут же и вычтем:
(дг2J + Bу2J + 4дг2у2 - 4х2у2.
Это дает возможность сгруппировать первые три члена так,
что выделится полный квадрат. Дальнейшее решение идет по пла-
ну примера 2.
Приведем полное решение примера, уже без комментариев:
х* + 4у* = (х2J + Bу2J = ((х2J + Bу2J + 4х2у2) - 4х2у2 =
= (х2 + 2у2J - BхуJ = (х2 + 2у2 - 2ху) (х2 + 2у2 + 2ху). <В
> В этом примере мы впервые применили метод
к выделения полного квадрата. Он будет полезен нам
щ ив дальнейшем, в частности, при решении следую-
W щего примера.
Пример 4. Разложить на множители:
мет°Д х* + х2а2 + а*,
выделения Решение. Применим метод выделения пол-
ного тт 2 2
квадрата ного кваДРата- Для этого представим х а в виде
2х2о2 - х2а2. Получим:
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
= (х2 + а2J - (хаJ = (х2 + о2 - ха) (х2 + а2 + ха). ®
А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было
сделано в § 22 (см. пример 2). Как видите, мы выполнили данное
там обещание.
Пример 5. Разложить на множители: л3 + Зл2 + 2л.
Решение. Сначала воспользуемся тем, что л можно вынес-
ти за скобки: л (л2 + Зл + 2). Теперь к трехчлену л2 + Зл + 2
применим способ группировки, предварительно представив Зл в
виде 2л + л. Получим:
л2 + Зл + 2 = л2 + 2л + л + 2 = (л2 + 2л) + (л + 2) =
= л (л + 2) + (л + 2) - (л + 2) (л + 1).
Окончательно получаем:
л3 + Зл2 + 2л = л(л+1)(л + 2). <!
Этим разложением мы уже воспользовались в
§ 19. Правда, там это было сделано без обоснова-
ний, зато теперь все стало на свои места.
Пример 6. Вычислить 38,82 + 83 • 15,4 - 44,22.
Решение. Последовательно применим группировку, фор-
мулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя
за скобки. Эта совокупность алгебраических приемов позволит
провести арифметические вычисления легко и изящно:
38,82 + 83 • 15,4 - 44,22 = 83 • 15,4 - D4,22 - 38,82) =
= 83 • 15,4 - D4,2 - 38,8) D4,2 + 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4 • 83 =
= 83 A5,4-5,4)-83-10 = 830. ®
Заканчивая этот параграф, вернемся к тому, с чего мы начи-
нали главу 5. В § 19 мы говорили о том, что разложение на мно-
жители — один из методов решения уравнений. В следующем
примере мы и воспользуемся этим методом.
Предварительно отметим следующее. В математике и смеж-
ных науках часто встречаются уравнения вида одг2 + Ьдг + с = 0,
где а,Ъ,с — не переменные, а числа. Например, 2дг2 - Здг + 2 = 0,
дг2 + 4дг - 8,5 = 0 и т. д. Такие уравнения называют квадратными,
мы специально займемся их изучением в 8 классе. Впрочем, не-
которые квадратные уравнения можно и теперь решить. Одно
квадратное уравнение мы уже решили выше в § 21 (см. пример 5),
сейчас решим еще одно, причем даже двумя способами (правда,
обычно делают не так, а пользуются готовыми формулами для
решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете).
Пример 7. Решить уравнение дг2 - бдг + 5 = 0.
Решение.
Первый способ. Представим - бдг в виде суммы - дг - 5дг, а за-
тем применим способ группировки:
дг2 - бдг + 5 = дг2 - дг - 5дг + 5 = (дг2 - х) + (- 5х + 5) =
заданное уравнение примет вид:
(*-1)(*-5) = 0,
откуда находим, что либо х = 1, либо х = 5.
Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата,
для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:
х2 - 6х + 5 = х2 - вх + 9 - 4 = {х2 - 6х + 9) - 4 =
() ()
Снова пришли к уравнению (х - 1) (х - 5) = 0, имеющему
корни 1 и 5.
О т в е т: 1, 5.

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.