Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Прямая пропорциональность и ее график

                                             ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ И ЕЕ ГРАФИК

Среди линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; в этом случае линейная функция принимает вид у = kx и ее называют прямой пропорциональностью. Это название объясняется тем, что две величины у и х называют прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному
числу, отличному от нуля. Здесь, это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Многие реальные ситуации моделируются с помощью прямой пропорциональности.

Например,
путь s и время t при постоянной скорости, 20 км/ч связаны зависимостью s = 20t; это — прямая пропорциональность, причем k = 20.

Другой пример:
стоимость у и число х батонов хлеба по цене 5 руб. за батон связаны зависимостью у = 5х; это — прямая пропорциональность, где k = 5.

Теорема 3.
Графиком прямой пропорциональности у = kx
является прямая, проходящая через начало ко-
I ординат.
Доказательство. Осуществим его в два этапа.
1. у = kx — частный случай линейной функции, а графиком
линейной функции является прямая; обозначим ее через I.
2. Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у — kx,
а потому точка @; 0) принадлежит графику уравнения
у = kx, т. е. прямой I.
Следовательно, прямая I проходит через начало координат.
Теорема доказана.
Надо уметь переходить не только от аналитической модели
у = kx к геометрической (графику прямой пропорциональности),
но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим,
например, прямую на координатной плоскости хОу, изображен-
ную на рисунке 50. Она является графиком прямой пропорцио-
нальности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как
у
k = — , то достаточно взять любую точку на прямой и найти отно-
шение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит че-
рез точку РC; 6), а для этой точки имеем: - = 2. Значит, k = 2, а
3
потому заданная прямая линия служит графиком прямой про-
порциональности у = 2х.
График линейной функции у = kx обычно строят так: берут
точку A; К) (если х = 1, то из равенства у = kx находим, что у = k)
и проводят прямую через эту точку и начало коор-
динат. Впрочем, в случае необходимости точку
A; Л) можно заменить другой точкой, более удоб-
ной. На рисунке 51 изображены графики линей-
ных функций у — х (прямая lt), у = 2х (прямая 12),
х
у = — (прямая 13; здесь не очень удобно брать точку
3
A; g I, мы взяли точку C; 1)), у = -2х (прямая Z4).
Обратите внимание: от коэффициента пропорциональности за-
висит угол, который построенная прямая образует с положитель-
ным направлением оси х. Если k > О, то этот угол острый (так
обстоит дело на рис. 51 с прямыми llt l2, 13); если k < 0, то этот
угол тупой (так обстоит дело на рис. 51 с прямой Z4). Далее, если
k > О, то чем больше k, тем больше угол. Так, на рисунке 51 для
прямой 13 имеем k = г, для прямой Zx имеем k = 1, для прямой 12
имеем k = 2; при увеличении коэффициента k увеличивается и
угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс.
Поэтому коэффициент k в записи у = kx называют не только коэф-
фициентом прямой пропорциональности, но и угловым коэффи-
циентом.
На рисунке 52 изображены графики линейных функций
у = 2х - 4, у = 2х + 6. Оба они параллельны графику прямой
у.
с
1 ¦
/
/
(
0
1
/
1
}
/
(
3
X
i =
7
h
4
\
*/
/
X
\
\
/
/
/
i
О
Эк
/\\
и
1
(
у
**>
1
=
/
1х
/
3
у -
f
у-
^-
X
~ X
X
' "о
/
/
С1
1/
у
/
-3
/
с
/
/
1"
/
4
1
с
//
<||
0
/
(
t
l/
/
1
i
4
7
/
2
J
/
X
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
пропорциональности у = 2х, только первая прямая (у = 2х - 4)
получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масш-
таба, а вторая прямая (у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х
сдвигом вверх на 6 единиц масштаба.
Справедлив следующий общий результат, который мы офор-
мим в виде теоремы.
I Прямая, служащая графиком линейной функции
у = kx + m, параллельна прямой, служащей гра-
фиком прямой пропорциональности у = kx.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции
у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0,
то прямая у = kx + m образует с положительным направлени-
ем оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, — тупой угол
(рис. 49, б).
§31
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
пропорциональности у = 2х, только первая прямая (у = 2х - 4)
получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масш-
таба, а вторая прямая (у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х
сдвигом вверх на 6 единиц масштаба.
Справедлив следующий общий результат, который мы офор-
мим в виде теоремы.
I Прямая, служащая графиком линейной функции
у = kx + m, параллельна прямой, служащей гра-
фиком прямой пропорциональности у = kx.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции
у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0,
то прямая у = kx + m образует с положительным направлени-
ем оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, — тупой угол
(рис. 49, б).
§31
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х-
пропорциональности у = 2х, только первая прямая (у = 2х - 4)
получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масш-
таба, а вторая прямая (у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х
сдвигом вверх на 6 единиц масштаба.
Справедлив следующий общий результат, который мы офор-
мим в виде теоремы.
I Прямая, служащая графиком линейной функции
у = kx + m, параллельна прямой, служащей гра-
фиком прямой пропорциональности у = kx.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции
у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0,
то прямая у = kx + m образует с положительным направлени-
ем оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, — тупой угол
(рис. 49, б).

_{Планирование математике, материалы по математике 7 класса скачать, учебники онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.