KNOWLEDGE HYPERMARKET


Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)


 Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)


Построим в одной системе координат графики функций у — х2 (черная линия на рис. 43) и у = х2 + 4. Составим таблицу значений функции у = х2 + 4:

x
0
1
-1
2
-2
y
4
5
5
8
8


Построив точки (0; 4), (1; 5), (-1; 5), (2; 8), (-2; 8) на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим параболу (цветная линия на рис. 43). Обратите внимание — это точно такая же парабола, как и у = х2, но только сдвинутая вдоль оси у на 4 единицы масштаба вверх. Вершина параболы теперь находится в точке (0; 4), а не в точке (0; 0), как для параболы у = х2. Осью симметрии по-прежнему служит прямая х = 0, как это было и в случае

параболы у = х2.

Если же построить в одной системе координат графики функций у = х2 и у = х2-2 (рис. 44), то заметим, что второй график получается из первого сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 2 единицы масштаба вниз.

Точно так же обстоит дело и с графиками других функций. Например, график функции у = 2х2 - 3 — парабола, которая получается из параболы у = 2х2 сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 3 единицы масштаба вниз (рис. 45).

Графики функций

Вообще, справедливо следующее утверждение: чтобы построить график функции у = f(x) + mт, где т — заданное положительное число, надо сдвинуть график функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба вверх; чтобы построить график функции у = f(x) - m, где m — заданное положительное число, надо сдвинуть график функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба вниз.

Между прочим, этот результат не является для вас абсолютно новым. Вспомните, как обстояло дело с графиками функций у = kx и у = kx + m: это — две параллельные прямые, одна из которых (у = kx) проходит через начало координат, а другая {у = kx + m) проходит через точку (0; m), т. е. фактически получена из первой прямой сдвигом вдоль оси у на т единиц (рис. 46).

Пример 1. Построить график функции у = -2х2 + 5.

Решение. Построив параболу у = - 2х2 и сдвинув ее
вдоль оси у вверх на 5 единиц, получим график функции у = - 2х2 + 5 (рис. 47).

Графики функций

Пример 2. Построить график функции Формула - 2
Решение. Построив гиперболу Формула и сдвинув ее вдоль оси у вниз на 2 единицы, получим график функции 11-06-149.jpg - 2 (рис. 48). Обратите внимание, что и горизонтальная асимптота гиперболы сдвинулась на 2 единицы вниз: для гиперболы Формула асимптотой служила ось х (прямая у = 0), а для гиперболыФормула - 2 асимптотой служит прямая у = -2.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 3 - 2х2 на отрезке [-2, 1].

Решение. Построим график функции у = 3 - 2х2 и выделим его часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 49). Замечаем, что унанм = - 5 (достигается при х = - 2),

а унаиб. = 3 (достигается при х = 0).

Ответ: унаим. = - 5; унаиб. = 3.

Пример 4. Решить уравнение 11-06-150.jpg = х2 + 1.
Решение. 1) Рассмотрим две функции:

y =11-06-150.jpg  и y =х2 + 1.

2) Построим график функции Формула гиперболу (рис. 50).
3) Построим график функции у = х2 + 1. Это — парабола, которая изображена на том же чертеже (рис. 50).

4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и парабола пересекаются в точке А(1; 2). Проверка показывает, что на самом деле точка А(1; 2) принадлежит и тому и другому графику. Уравнение имеет единственный корень х = 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Построить и прочитать график функции у = f(x), где

Формула

Решение. Сначала построим параболу у = (х + 2)2 и выделим ее часть на отрезке [-4, 0] (рис. 51). Затем построим параболу у = 4 - х2 и выделим ее часть на открытом луче (0, +оо) (рис. 52). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — получим график функции y = f(х)(рис. 53).

Перечислим свойства функции у = f(х), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции — луч [—4, + оо).

2. у = 0 при х = - 2 и при х = 2; у > 0 при -4<х<-2 и при -2<х<2;у<0 при х > 2.

Графики

Графики


3. Функция убывает на промежутках [—4, —2] и [0, + оо), возрастает на отрезке [-2, 0].
4. Функция ограничена сверху, но не ограничена снизу.

5- yнанм. не существует; yнаиб = 4 (достигается при х = - 4 и при х = 0).

6. Функция непрерывна в заданной области определения.


Замечание.
По сути дела, в этом параграфе речь шла о построении графика функции у = f (x) + m, где m — любое число, как положительное, так и отрицательное. Вы, наверное, заметили, что, думая, на сколько единиц масштаба надо сдвинуть вдоль оси у график функции у = f(x), мы не обращали внимания на знак числа m; график сдвигался в действительности вверх или вниз на | m I единиц. А вот направление сдвига как раз и определялось знаком числа m при т > 0 график сдвигался вверх, а при т < 0 — вниз.


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 8 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.