Реклама




Модуль действительного числа

Материал из Гипермаркет знаний

Перейти к: навигация, поиск
Реклама

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Модуль действительного числа

Модуль действительного числа


1.Модуль действительного числа

и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.

Короче это записывают так:

Модуль действительного числа

Например,

примеры

На практике используют различные свойства модулей, например:

1. |а|14-06-120.jpg 0.
2.|аb| =|a| |b|.
Примеры

2. Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через 14-06-128.jpg (a, b) расстояние между точками а и b (14-06-128.jpg — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.

Задание

Все три случая охватываются одной формулой:

Формула

Пример 1.
Решить уравнения:

а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - 14-06-118.jpg I = 0.
Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию 14-06-128.jpg (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее 14-06-128.jpg (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

Задание

в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, 14-06-128.jpg (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.

г) Для уравнения
|х - 14-06-118.jpg| = 0 можно обойтись без геометрической иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - 14-06-118.jpg = 0, т. е. х = 14-06-118.jpg .

Пример 2. Решить уравнения:

а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Р е ш е н и е.

а) Имеем|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|.| = 2|x -3|

Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду

2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.

Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию 14-06-128.jpg (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.

б) Имеем

Задание

Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду

Задание

Переведем аналитическую модель модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию 14-06-135.jpg

Значит, они удалены от точки Дроби , на расстояние, равное 2.

модель

в) Для уравнения  | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.

Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.

Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).

Графики

4. Тождество Тождество
Мы знаем, что если Доказательство.А как быть, если а < 0? Написать у Доказательство в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что Доказательство, а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

Чему же равно выражение14-06-144.jpg при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а2. Таким числом будет - а. Смотрите:

1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число);

2)(-а)22.

Итак,

Доказательство

Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:

Доказательство

Значит,14-06-144.jpg и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:

Тождество

В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.

Пример 4. Упростить выражение Выражение , если:
а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество

Тождество
а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем Тождество = а - 1.
б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем Тождество = 1 - а. в

Пример


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Реклама
Просмотры
Реклама











Личные инструменты
��������...