Реклама




Рациональные уравнения

Материал из Гипермаркет знаний

Перейти к: навигация, поиск
Реклама

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Рациональные уравнения


Рациональные уравнения


1. Алгоритм решения рационального уравнения

Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.

Пример 1. Решить уравнение

Уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Уравнение = 0

При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член 13-06-55.jpg в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

Уравнение
Вспомним условия равенства дроби нулю:Дробь тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля 13-06-58.jpg).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим


Уравнение

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение Соотношение означает для уравнения (1), что Соотношение. Значения х1 = 2 и х2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.

Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.


Алгоритм решения рационального уравнения

Алгоритм решения рационального уравнения


Пример 2. Решить уравнение

Уравнение

Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1) Преобразуем уравнение к виду

Уравнение

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

Уравнение

(одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид

Уравнение

3) Решим уравнение х2 - 6x + 8 = 0. Находим

Уравнение

4) Для найденных значений проверим выполнение условия 13-06-67.jpg. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень.
О т в е т: 4.

2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение х4 + х2 - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х2. Так как х4 = (х2)2 = у2, то заданное уравнение можно переписать в виде

у2 + у - 20 = 0.

Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у1 = 4, у2 = - 5.
Но у = х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x2=4; х2=-5.

Из первого уравнения находим Решение  второе уравнение не имеет корней.
Ответ: 13-06-71.jpg.
Уравнение вида ах4 + bx2 +c  = 0 называют биквадратным уравнением («би» —  два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение ). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х2, решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.

Пример 4. Решить уравнение

Уравнение

Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):

Уравнение

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.

1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:

Уравнение = 0
2) Преобразуем левую часть уравнения

Уравнение

Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду

Уравнение
3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4 = 0 находим Решение (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).

4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1)13-06-77.jpg. Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: Решение
Поскольку у = х2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и 13-06-79.jpg, — нам еще предстоит решить два уравнения: х2 + Зх = 4; х2 + Зх = 13-06-79.jpg. Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа

Решение

В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример 5. Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х2 - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x2-Зx+2.

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

(x2 - 3x)(x2 + 3x + 2) = 24

Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх.

С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.

Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два уравнения х2 - Зх = 4 и х2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х1 = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.

О т в е т: 4, — 1.


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Реклама
Просмотры











Личные инструменты
��������...