Реклама




Свойства числовых неравенств

Материал из Гипермаркет знаний

Перейти к: навигация, поиск
Реклама

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Свойства числовых неравенств

Свойства числовых неравенств


Продолжим изучение свойств действительных чисел, начатое в главе 5. Там мы отмечали, что над действительными числами производятся различные арифметические операции, при этом используются свойства таких операций. Знание этих свойств помогало нам выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения.

Там же, в главе 5, мы ввели понятие числового неравенства: а> b — это значит, что а - b — положительное число; а < b — это значит, что а - b — отрицательное число.

Числовые неравенства обладают рядом свойств, знание которых поможет нам в дальнейшем работать с неравенствами.

Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели — неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да вы и сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

Так, в § 27 мы пользовались оценками для числа уЧисла и т. д.), где фактически опирались (хотя и интуитивно) на свойства числовых неравенств. Активно использовали мы знаки (да и свойства) неравенств в § 28 и 30.

Изучением свойств числовых неравенств мы займемся в настоящем параграфе.

Свойство 1. Если а>b и b> с, то а> с.

Доказательство. По условию, а > b, т. е. а — b — положительное число. Аналогично, так как b > с, делаем вывод, что b - с — положительное число.

Сложив положительные числа а - b и b - с, получим положительное число. Имеем (а - b) + (b - с) - а - с. Значит, а- с — положительное число, т. е. а > с, что и требовалось доказать.

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т. е. числовую прямую. Неравенство а> b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с — что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка о расположена на прямой правее точки с, т. е. а> с.

Задание

Свойство 1 обычно называют свой ством транзитивности (образно с говоря, от пункта а мы добираемся до Рис. 115 пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).

Свойство 2. Если а>b, то а + с>Ь + с.

Свойство 3. Если а>b и m> О, то от > bm; если а>b и m < o, то am < bm.

Смысл свойства 3 заключается в следующем: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;

если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >,> на< ).

То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число т, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 14-06-196.jpg .
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства а > b на — 1, получим — а < -b. Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а>b, то — а <—b.

Свойство 4. Если а>b и c> d, то а + с > b + d.

Доказательство.
I способ. По условию, а > b и с > d, значит, а - b и с - d — положительные числа. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) — положительное число. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то и (а + с) - (b + d) — положительное число. Поэтому a + c>b + d.

II способ. Так как а > Ь, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
Итак, а + с > b + с, b + с > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.

Замечание 1. Мы привели два способа доказательства для того, чтобы вы сами выбрали тот из них, который вам больше понравился или более понятен.

Кроме того, вообще полезно знакомиться с различными обоснованиями одного и того же факта.

Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > bc. Аналогично, так как с > d и b > o, то cb > db. Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.

Обычно неравенства вида а > b, с > d (или а < с, с < d) называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и с < d — неравенствами противоположного смысла.

Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Свойство 6. Если а и b — неотрицательные числа и а > b, то аn > Ьn, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к свойству 6. Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аn > bn.

Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств: например, так можно доказать те из перечисленных выше свойств, которые мы здесь привели без доказательства (советуем вам в качестве упражнения попробовать восполнить этот пробел). Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть а и b — положительные числа и а > b.
Доказать, что

Неравенство

Решение.

Рассмотрим разность .Разность ИмеемРешение.
По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит, Число  — отрицательное число, т.е. —Неравенство, откуда следует, что Неравенство
Пример 2. Пусть а — положительное число. Доказать, что Пример
Решение

Решение
 Получили неотрицательное число, значит, Решение
Заметим, что

Решение

Пример 3. Пусть а и b неотрицательные числа.
Доказать, что

Пример


Решение.

Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

Решение.

Число Число называют средним арифметическим чисел а и b число Число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

Замечание 2. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

Задание

14-06-212.jpg (так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что  такое 14-06-213.jpg ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана,  проведенная к гипотенузе (т. е. 14-06-213.jpg), не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. 14-06-214.jpg), — очевидный геометрический факт (см. рис. 116). Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат.

Пример 4. Сравнить числа:

Пример

Решение.

а) Поставим между сравниваемыми числами знак < ; интуиция подсказывает, что первое число меньше второго. Если в результате правильных (т. е. строгих, основанных на свойствах числовых неравенств) рассуждений мы получим верное неравенство, то наша догадка подтвердится.

Если же в результате правильных рассуждений мы получим неверное неравенство, то между заданными числами надо было поставить не знак <, а знак > (или = , если окажется, что числа равны).

Итак, мы считаем, что Решение • Тогда, согласно свойству 6, Решение , т. е. 5 < 7. Это верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: 14-06-216.jpg .
б) Поставим между сравниваемыми числами наугад знак > (тут уже действительно наугад, поскольку интуиция здесь не поможет), т. е. предположим,что Решение • Возведя обе части неравенства в квадрат и используя свойство 6,получим

Решение

Воспользовавшись свойством 2, прибавим к обеим частям этого неравенства число -9; получим


Решение

Решение, а) Умножив все части двойного неравенства 2,1<а< 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим
2 • 2,1 < 2а < 2 • 2,2, т. е. 4,2 <2а< 4,4.

б) Умножив все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8 на одно и то же отрицательное число - 3, получим неравенство противоположного смысла:

- 3 • 3,7 > - Зb > - 3 • 3,8, т. е. - 11,4 < - 36 < - 11,1 (вместо записи вида а > b > с мы перешли к более употребительной записи с <b < а).

в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим

Решение

г) Сначала умножим все части двойного неравенства 3,7 < b < < 3,8 на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство противоположного смысла - 3,7 > - b > - 3,8, т. е. - 3,8 < - b < - 3,7.

Далее имеем

Решение

д) Поскольку все части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 положительны, возведя их в квадрат, получим
2,122<2,22, т. е. 4,41 < а2 < 4,84.

е) Возведя в куб все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8, получим 3,73 < b3 < 3,83, т. е. 50,653 < b3 < 54,872.

ж) В примере 1 мы установили, что если а и b— положительные числа, то из неравенства а < b следует неравенство противоположного смысла Неравенство. Значит из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 следует, что

Решение


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 8 класса скачать, помощь школьнику онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Реклама
Просмотры
Реклама











Личные инструменты
��������...