Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Существование и единственность перпендикуляра к прямой

            Существование и единственность

                  перпендикуляра к прямой

Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим,
 


 
существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Задача (50). Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.

Решение. Пусть а и b — параллельные прямые и А, А₁ — любые точки на прямой а (рис. 86). Опустим из точки А₁ перпендикуляр А₁В₁ на прямую b.

Отложим из точки B₁ на прямой b отрезок В₁В, равный отрезку АА₁, так, чтобы точки A₁ и В были по разные стороны прямой АВ₁.

Тогда треугольники АВ₁А, и B₁AB равны по первому признаку. У них сторона AB₁ общая, А А ₁ =ВВ₁ по построению, а углы В₁АА₁ и АВ₁В равны как внутренние накрест лежащие параллельных а и b с секущей AB₁.

Из равенства треугольников следует, что АВ есть перпендикуляр к прямой b и AB=A₁B₁ что и требовалось доказать.

Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые равноотстоящие.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.