KNOWLEDGE HYPERMARKET


Тригонометрические уравнения

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Тригонометрические уравнения


§ 20. Тригонометрические уравнения


1. Простейшие тригонометрические уравнения


Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида a Задание — действительное число. К настоящему моменту мы знаем, что:
1)    если | а | < 1, то решения уравнения соз о:-а имеют вид:


Решение уравнения   
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n, к и т.д.) принимает любые целочисленные значения Alga333.jpg
К простейшим относят обычно и уравнения вида Т(кх + m)=а, где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.
Пример 1. Решить уравнения:

Задание
Решение: а) Введем новую переменную Решение
Возвращаясь к переменной х, получаем: Формула Осталось обе части этого равенства разделить почленно на 2; получим:

Формула
Заметим, что при наличии некоторого опыта можно не вводить промежуточную переменную t = 2х, а сразу переходить от уравнения Уравнения
Именно так мы и будем действовать в дальнейшем.
б) Мы знаем, что решения уравнения соs t = а имеют вид:Уравнение Для нашего примера это означает, что

Задание
Пример 2. Найти те корни уравнения Уравнение которые принадлежат отрезку[0, п].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: Уравнение (см. пример 1а). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.


Задание


Это число не принадлежит заданному отрезку [0, п]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n = -2, -3,...
На рис. 94 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Задание
Итак, заданному отрезку [0, п] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n = 0, n = 1. Эти корни таковыAlga345.jpg
Ответ: Alga345.jpg

Пример 3. Найти те корни уравнения Формула которые принадлежат отрезку Alga347.jpg
Решение: Сначала решим уравнение в общем виде: Формула (см. пример 16). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.


Задание

поскольку оба они больше числа л. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = 3,4,...

Задание
Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = -2, - 3,...
На рис. 95 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Задание
Итак, заданному отрезку Alga352.jpg принадлежат следующие корни уравнения

Задание


2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используются два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Вернемся к материалу § 16. Там в примере 3 мы решили тригонометрическое уравнение Задание Как мы это сделали? Ввели новую переменную z = sin t, переписали уравнение в виде
Задание В результате мы получили два простых уравнения: Задание Первое уравнение не имеет решений, а для второго нашли две серии решений:

Задание  и установили (см. § 18), что эти две серии можно объединить одной формулой Задание
В том же § 16 в примере 4 мы решили тригонометрическое уравнение

Задание

Пример 4. Решить уравнение

Задание

Решение. Поскольку Задание есть смысл ввести новую переменную Задание  Это позволит переписать уравнение в более простом виде: Задание
Имеем:

Задание

Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения:

Задание

Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений — методе разложения на множители. Смысл этого метода вам знаком: если уравнение f(х) =0 возможно преобразовать к виду

Alga366.jpg то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят — к решению совокупности уравнений):

Alga367.jpg
Пример 5. Решить уравнение   Задание
Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений:

Задание
Из этих уравнений находим соответственно:

Задание
Пример 6. Решить уравнение Задание.

Решение. Имеем Задание Значит, приходим к совокупности уравнений:

Задание
Замечание. Учтите, что переход от уравнения Задание к совокупности уравнений: Задание не всегда безопасен. Рассмотрим, например, уравнение Задание Из уравнения tg x = 0 находим
х = пn; из уравнения sin x = 1 находим Формула Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях Формула входящий в заданное уравнение множитель tg х не имеет смысла, т.е. значения
Формула не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений уравнения — ОДЗ), это — посторонние корни.


3. Однородные тригонометрические уравнения

Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.

Определение. Уравнение вида: Формула называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида: Формула называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и Ъ отличны от нуля, так как, если а =0, уравнение принимает вид Задание такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при Ь=0 получаем sin х =0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение Задание Разделив обе части уравнения почленно на соs x, получим:

Задание
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению

Формула
Внимание! Вообще-то делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в нашем уравнении соз х отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что соз х =0. Тогда однородное уравнение а sin х+Ь соз х=0 примет вида зтдг=0, т.е. зщх=0 (вы ведь не забыли, что коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и соз х=0, и зш л: =0, а это невозможно, так как зтх и соззс обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения насозх— вполне благополучная операция.
Уравнения вида а зт тх+Ь соз тх=0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на соз тх.
Пример 7. Решить уравнение 2 sin х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:

Задание

Пример 8. Решить уравнение 2x + соs2x =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соs 2 x, получим:

Задание

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Формула
Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на соs 2 х. Что это даст? Смотрите:

Задание
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
Задание
коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид:
Задание
Это уравнение можно решить методом разложения на множители:

Задание
Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и в случае, когда с =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид   (здесь можно вынести за скобки sin х).
Фактически мы выработали

Алгоритм решения уравнения

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс


Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.