Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 5 класс>>Математика:Уравнение

Уравнение

Задача. На левой чашке весов лежат арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке — гиря в 5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нам надо найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания, таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3.

Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при « одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Например, корнем уравнения х + 2 = 5 является число 3.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Пример 1. Решим уравнение х + 12 = 78.

Решение. По смыслу вычитания, неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого.
Поэтому х = 78 - 12, то есть х = 66. Число 66 является корнем уравнения х + 12 = 78, потому что 66 + 12 = 78.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое (рис. 44, а).

Пример 2. Решим уравнение у - 8 = 11.
Решение. По смыслу вычитания, у является суммой чисел 11 и 8. Значит, у = 11 + 8, то есть y = 19.
Число 19 является корнем уравнения у - 8 = 11, так как верно равенство 19-8= 11.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность (рис. 44, б).

Пример 3 Решим уравнение 15-2 = 9.

Решение. По смыслу вычитания, число 15 является суммой z и 9, то есть z + 9 = 15. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 15 - 9,то есть 2 = 6.

Число 6 является корнем уравнения 15 - z = 9, так как верно равенство 15-6 = 9.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность (рис. 44, в).

Какое равенство называют уравнением?
Какое число называют корнем уравнения?
Что значит решить уравнение?
Как проверить, верно ли решено уравнение?
Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?

372. Решите уравнение:

а) x + 37 = 85;
б) 156 + у = 218;
в) 85 - z = 36;
г) m - 94 = 18;
д) 2041 - n = 786;
е) р- 7698 = 2302.

373. Решите с помощью уравнения задачу:

а) В корзине было несколько грибов. После того как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?
б) В мотке было несколько метров проволоки. После того как отрезали 9 м, осталось 25 м. Сколько метров проволоки было в мотке?
в) Электропоезд был в пути 1 ч 15 мин. Некоторое время он затратил на остановки, а двигался 46 мин. Сколько времени затрачено на остановки?
г) В спортивном лагере 322 человека. Когда несколько человек ушли в поход, в лагере осталось 275 человек. Сколько человек ушли в поход?
д) Скорость автомашины уменьшили на 45 км/ч, и она стала равной 35 км/ч. Какова была скорость машины раньше?
е) Через 9 лет Вите исполнится 20 лет. Сколько лет ему сейчас?

374. Составьте уравнение по рисунку 45 и решите его.

375. Решить уравнение (у 4- 64) - 38 = 48 можно двумя способами:

1) сначала найти неизвестное уменьшаемое y + 64= 48 + 38, у + 64 =  86, а потом найти неизвестное слагаемое у:

у = 86 - 64, у = 22,  или

2) сначала упростить выражение, стоящее в левой части уравнения, использовав свойства вычитания:
у 4- 64 - 38 = 48, у 4- 26 = 48, а затем найти неизвестное слагаемое у:
у = 48 - 26, у = 22.

Подобным образом решите двумя способами уравнение:

а) (х + 98) + 14 = 169; б) (35 + у) - 15 = 31.

376. Решите уравнение и выполните проверку:

а) (х + 15) - 8 - 17;                г) (у - 35) + 12 = 32;
б) (24 + х) - 21 = 10;             д) 56 - (х + 12) = 24;
в) (45 - у) + 18 = 58;             е) 55 - (х - 15) = 30.

377. Решите с помощью уравнения задачу:

а) Витя задумал число. Если к этому числу прибавить 23 и к полученной сумме прибавить 18, то получится 52. Какое число задумал Витя?
б) Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 14 и от полученной суммы отнять 12, то получится 75. Какое число задумала Маша?
в) В бензобак, где был бензин, перед поездкой долили еще 39 л. Во время поездки было израсходовано 43 л бензина, после чего в бензобаке осталось 27 л. Сколько литров бензина было в бензобаке первоначально?
г) В ателье было 60 м ткани. Из нее сшили платья, еще 16 м израсходовали на детские костюмы, после чего осталось 20 м этой ткани. Сколько метров ткани пошло на платья?

378. Запишите в виде равенства:

а) У Вани было х яблок, у Пети — на 8 яблок больше, а у Нины — на 3 яблока меньше, чем у Вани. Вместе у них было 41 яблоко.
б) Один токарь выточил у деталей, другой — на 7 деталей больше, чем первый, а третий — на 8 деталей меньше, чем второй. Вместе они сделали 81 деталь.
в) У Кости п открыток, у Игоря — на 8 открыток меньше, чем у Кости, а у Наташи — на 15 открыток больше, чем у Кости. У Наташи столько же открыток, сколько у Кости и Игоря вместе.
г) В первый сосуд налили т л жидкости, во второй — на 7 л меньше, чем в первый, а в третий сосуд — на 10 л больше, чем во второй. В третьем сосуде оказалось столько жидкости, сколько в первом и втором сосудах вместе.

379. Сумма 3986 + 5718 равна 9704. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или корень уравнения:

а) 9704 - 3986;                      г) 3986 + у = 9704;
б) 9704 - 5718;                      д) 9704 - х = 3986;
в) х + 5718 = 9704;                е) 9704 - v = 5718.

380. Разность 6877 - 2984 равна 3893. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или решите уравнение:

а) 2984 + 3893;             в) х - 3893 = 2984;
б) 6877 - 3893;              г) 6877 - x = 2984.

 381. Вместо звездочек в записи вычислений цепочкой поставьте необходимые числа.

382. Вычислите устно:

383. На координатном луче даны точки A(18), B(7), С(31), D(27), E(23), О(0).
какие из этих точек:

а) левее точки Е и на сколько единичных отрезков;
б) правее точки Л и на сколько единичных отрезков;
в) расположены между точками В и D?

384. Что больше и во сколько раз:

а) два часа или сорок минут;
б) десять центнеров или две тонны;
в) шесть сантиметров или двадцать миллиметров?

385. В бидоне 24 л молока. Для приготовления завтраков израсходовали четвертую часть молока, а для приготовления обедов — половину оставшегося молока. Сколько литров молока осталось в бидоне?

386. Найдите пропущенное число:

387. Вместо некоторых цифр поставлены звездочки. Можно ли сравнить числа:
а) 32** и 31**; б) *1** и 8**; в) **** и ***; г)*5*и1**?

388. Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградово — три дороги. Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградово через село Большово?

Решение. Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа:

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается4 • 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградово.

Немецкого ученого Кaрла Гaусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ, на его грифельной доске было написано: 101 • 50 = 5050.

389. Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

390. Из проволоки длиной 15 м делают обручи длиной 2 м. На сколько обручей хватит проволоки? Можно ли изготовить 4 обруча? 8 обручей?

391. Вычислите, выбирая удобный порядок выполнения действий:

а) 937 - (137 + 793);                       г) (747 + 896) - 236;
б) (654 + 289) - 254;                       д) (348 + 252) - 299;
в) 854 + (249 - 154);                       е) (227 + 358) - (127 + 258).

392. На одной грядке посадили 30 кустов клубники, а на другой k кустов. Погибло 6 кустов. Сколько кустов клубники осталось на грядках? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при k - 26; 35.

393. Найдите значение выражения, предварительно упростив его:

а) (Ь + 179) - 89 при b = 56; 75;
б) (839 + с) - 239 при с = 37; 98;
в) (256 - х) - 156 при х = 44; 87;
г) 238 - (38 + а) при а = 78; 0.

394. Найдите значение выражения:

1) 34 • 27 + 1638 : 39;                          3) (321 - 267) • (361 - 215) : 219;
2) 32 • 37 - 3293 : 37;                           4) (123 + 375) • 24 : (212 - 129).

395. Решите уравнение:

а) 395 + х = 864;                    в) 300 - у = 206;                    д) 166 = m- 34;
б) z + 213 = 584;                    г) t - 307 = 308;                      е) 59 = 81 - k.

396. Решите уравнение и выполните проверку:

а) (х - 87) - 27 = 36;

б) 87 - (41 + у) = 22.

397. Решите с помощью уравнения задачу:

а) Продолжительность дня с 7 октября до 19 ноября уменьшилась на 3 ч и стала равной 8 ч. Какой была продолжительность дня 7 октября?
б) В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили еще сахару, в нем стало 900 г. Сколько граммов сахару добавили в пакет?
в) На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек.

На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей — вышли 12 человек, после чего в автобусе осталось 17 человек. Сколько человек вошли в автобус на первой остановке?

398. Мотоциклист едет из города в село, расстояние до которого 120 км. Сколько километров ему осталось проехать, если он уже проехал а км?
Составьте выражение и найдите его значение при а = 40; 60; 80.

399. Купили дюжину (дюжина — 12) бутылок фруктовой воды, а в обмен сдали 8 пустых бутылок. Сколько денег доплатили? Узнайте, сколько стоит бутылка фруктовой воды и сколько пустая бутылка, и решите задачу.

400. Имелось 65 л фруктового сока. Из них 20 л дали детям во время завтрака, а остальной сок разлили в трехлитровые банки. Сколько банок для этого потребовалось?

401. Запишите все трехзначные числа, которые можно записать только с помощью цифр 5, 3 и 0.

402. Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше масры одного ящика груш?

403. Найдите значение выражения:

а) (37 296 : 37 - 17 780 : 35) : 250;
b) (504 • 370 - 158 092) : 47 + 1612.

В наше время почты все народы пользуются счетом десятками, сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления.

В ней, как вы уже знаете, значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной.

Раньше некоторые народы применяли другие системы счета. В теплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счета применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног. Получался счет двадцатками.

А пять тысяч лет назад в некоторых странах Востока пользовались шестидесятеричной системой счисления, то есть системой счисления с основанием Эта система была первой позиционной системой.

На рисунке показано, как в этой системе выглядела запись некоторых чисел.

Следы шестидесятеричной системы счисления сохранились до сих пор: мы и сейчас делим час на 60 минут, а минуту — на 60 секунд.

Использование числа 10 как основания системы счисления связано с тем, что у людей на руках 10 пальцев, которые удобнее всего было использовать при счете. Но основание системы счисления, конечно, может быть любым числом. Например, современные ЭВМ (электронные вычислительные машины) считают в двоичной системе (основание 2), так как при этом используются только два состояния: «есть сигнал» и «нет сигнала».

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике  скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.