KNOWLEDGE HYPERMARKET


Методы решения систем уравнений
Строка 3: Строка 3:
<br>  
<br>  
-
&nbsp;'''Методы решения систем уравнений'''<br>
+
'''Методы решения систем уравнений'''
-
<br>В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
+
Какие существуют методы решения систем уравнения?
-
<br>'''1. Метод подстановки'''
+
В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
 +
 
 +
<h2>Метод подстановки</h2>
Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Строка 21: Строка 23:
[[Image:Al61.jpg|120px|Система уравнений]]
[[Image:Al61.jpg|120px|Система уравнений]]
-
'''Р е ш е н и е. '''
+
'''Решение. '''
1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]:
1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]:
Строка 27: Строка 29:
[[Image:Al62.jpg|160px|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg|120px|Уравнение]]<br>5)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.  
[[Image:Al62.jpg|160px|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg|120px|Уравнение]]<br>5)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений.  
-
О тв е т: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]
+
Ответ: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]
-
<br>'''2. Метод алгебраического сложения'''
+
<h2>Метод алгебраического сложения</h2>
Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Строка 53: Строка 55:
-
'''3. Метод введения новых переменных'''
+
<h2>Метод введения новых переменных</h2>
С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
Строка 122: Строка 124:
''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''
''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''
-
 
-
<br>
 
-
 
-
<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]</sub>
 
-
 
-
'''<u>Содержание урока</u>'''
 
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас 
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
 
-
 
-
'''<u>Практика</u>'''
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
 
-
 
-
'''<u>Иллюстрации</u>'''
 
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
 
-
 
-
'''<u>Дополнения</u>'''
 
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                         
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
 
-
 
-
<u>Совершенствование учебников и уроков
 
-
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
 
-
 
-
'''<u>Только для учителей</u>'''
 
-
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год 
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации 
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
 
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
 
-
 
-
 
-
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
 
-
</u>
 
-
 
-
<br>
 
-
 
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
 
-
 
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
 

Версия 10:39, 7 июля 2015

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Методы решения систем уравнений


Методы решения систем уравнений

Какие существуют методы решения систем уравнения?

В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.

Метод подстановки

Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).

Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.

Пример 1. Решить систему уравнений

Система уравнений

Решение.

1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.
2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.
3)Решим полученное уравнение:

Система уравнений
4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если Al63.jpg то Уравнение
5)    Пары (2; 1) и Al65.jpg решения заданной системы уравнений.

Ответ: (2; 1); Al65.jpg

Метод алгебраического сложения

Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.

Пример 2. Решить систему уравнений

Система уравнений
Решение.

Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: Система уравнений
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:

Система уравнений
В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:

Система уравнений
Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Уравнение Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим

Система уравнений
Осталось подставить найденные значения х в формулу Формула

Если х = 2, то

Решение
Таким образом, мы нашли два решения системы: Решение

Ответ:  Ответ


Метод введения новых переменных

С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

Пример 3. Решить систему уравнений

Система уравнений

Решение. Введем новую переменную Al617.jpg Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Уравнение Решим это уравнение относительно переменной t:

Решение
Оба эти значения удовлетворяют условию Al620.jpg, а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но Al621.jpg значит, либо Al622.jpg откуда находим, что х = 2у, либо Al623.jpg
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:

х = 2 у; у — 2х.

Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 - у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:

Система уравнений

Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:

Система уравнений
Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим

Система уравнений
Так как х = 2у, то находим соответственно х1 = 2, х2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:

Система уравнений
Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим

Решение
Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.

Ответ: (2; 1); (-2;-1).

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.

Пример 4. Решить систему уравнений

 Система уравнений

Решение.

Введем две новые переменные:

 Решение

Учтем, что тогда

Система уравнений

Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:

Система уравнений
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:

Система уравнений
Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:

Решение
Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений

Система уравнений
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:

Решение
Так как Al637.jpg то из уравнения 2x + y = 3  находим: Решение
Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:

Решение
Ответ: Ответ
Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.

Определение.

Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.


А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс