|
|
Строка 3: |
Строка 3: |
| <br> | | <br> |
| | | |
- | '''Методы решения систем уравнений'''<br>
| + | '''Методы решения систем уравнений''' |
| | | |
- | <br>В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
| + | Какие существуют методы решения систем уравнения? |
| | | |
- | <br>'''1. Метод подстановки''' | + | В этом параграфе мы обсудим три метода решения [[Системы уравнений. Основные понятия|систем уравнений]], более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе. |
| + | |
| + | <h2>Метод подстановки</h2> |
| | | |
| Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4). | | Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим [[Урок 4. Программа действий. Алгоритм|алгоритмом]] мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4). |
Строка 21: |
Строка 23: |
| [[Image:Al61.jpg|120px|Система уравнений]] | | [[Image:Al61.jpg|120px|Система уравнений]] |
| | | |
- | '''Р е ш е н и е. ''' | + | '''Решение. ''' |
| | | |
| 1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]: | | 1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.<br>2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.<br>3)Решим полученное [[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]: |
Строка 27: |
Строка 29: |
| [[Image:Al62.jpg|160px|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg|120px|Уравнение]]<br>5) Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений. | | [[Image:Al62.jpg|160px|Система уравнений]]<br>4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если [[Image:Al63.jpg]] то [[Image:Al64.jpg|120px|Уравнение]]<br>5) Пары (2; 1) и [[Image:Al65.jpg]] решения заданной системы уравнений. |
| | | |
- | О тв е т: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]]
| + | Ответ: (2; 1); [[Image:Al65.jpg]] |
| | | |
- | <br>'''2. Метод алгебраического сложения''' | + | <h2>Метод алгебраического сложения</h2> |
| | | |
| Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере. | | Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере. |
Строка 53: |
Строка 55: |
| | | |
| | | |
- | '''3. Метод введения новых переменных'''
| + | <h2>Метод введения новых переменных</h2> |
| | | |
| С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах. | | С методом введения новой переменной при решении [[Рациональные уравнения|рациональных уравнений]] с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах. |
Строка 122: |
Строка 124: |
| | | |
| ''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс'' | | ''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс'' |
- |
| |
- | <br>
| |
- |
| |
- | <sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]</sub>
| |
- |
| |
- | '''<u>Содержание урока</u>'''
| |
- | '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока '''
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
| |
- |
| |
- | '''<u>Практика</u>'''
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
| |
- |
| |
- | '''<u>Иллюстрации</u>'''
| |
- | '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
| |
- |
| |
- | '''<u>Дополнения</u>'''
| |
- | '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
| |
- |
| |
- | <u>Совершенствование учебников и уроков
| |
- | </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
| |
- |
| |
- | '''<u>Только для учителей</u>'''
| |
- | '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
| |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
| |
- |
| |
- |
| |
- | '''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
| |
- | </u>
| |
- |
| |
- | <br>
| |
- |
| |
- | Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
| |
- |
| |
- | Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
| |
Версия 10:39, 7 июля 2015
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Методы решения систем уравнений
Методы решения систем уравнений
Какие существуют методы решения систем уравнения?
В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
Метод подстановки
Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.
1. Выразить у через х из одного уравнения системы. 2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы. 3. Решить полученное уравнение относительно х. 4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге. 5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.
Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение.
1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у. 2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2. 3)Решим полученное уравнение:
4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если то 5) Пары (2; 1) и решения заданной системы уравнений.
Ответ: (2; 1);
Метод алгебраического сложения
Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение.
Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:
В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:
Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим
Осталось подставить найденные значения х в формулу
Если х = 2, то
Таким образом, мы нашли два решения системы:
Ответ:
Метод введения новых переменных
С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:
Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но значит, либо откуда находим, что х = 2у, либо Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:
х = 2 у; у — 2х.
Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 - у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:
Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:
Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим
Так как х = 2у, то находим соответственно х1 = 2, х2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:
Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим
Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.
Ответ: (2; 1); (-2;-1).
Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.
Пример 4. Решить систему уравнений
Решение.
Введем две новые переменные:
Учтем, что тогда
Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:
Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
Так как то из уравнения 2x + y = 3 находим: Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:
Ответ: Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.
Определение.
Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.
Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
|