Реклама




Вынесение общего множителя за скобки

Материал из Гипермаркет знаний

Перейти к: навигация, поиск


Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки


                       Вынесение общего множителя за скобки

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим  несколько примеров.


Пример 1. Разложить на множители многочлен:


а) 2х + 6у,     в) 4а3 + 6а2;           д) 5а4 - 10а3 + 15а8.
б) а3 + а2;      г) 12аЬ4 - 18а2b3с;

Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а3 + а2 = а2(а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а2). Получаем:

3 + 6а2 = 2а2 • 2а + 2а2 • 3 = 2а2 (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb4 - 18а2Ь3с = 6аЬ3 • 2b - 6аЬ3 • Зас = 6аb3(2b - Зас).

д) 5а4-10а3+15а8 = 5а3(а-2 + За2).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.


Алгоритм


Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Например:


Дробный коэффициент выносится за скобку


Пример 2. Разложить на множители:

4у3-2х3у2 + 5х2.

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.


1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х2.
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x2.

Получим:
4у3 -2х3у2+ 5х2 = - х22 у3 + 2ху2 - 5).

Пример 3. Можно ли разделить многочлен 5а4 - 10а3 + 15а5 на одночлен 5а3? Если да, то выполнить деление.

Решение. В примере 1д) мы получили, что

4 - 10а3 + 15а8 - 5а3(а - 2 + За2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а3, при этом в частном получится а - 2 + За2

Подобные примеры мы рассматривали в § 18;  просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен.

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2)2.

Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:

2x (x - 2) + 5 (x - 2)2 = 2ху + 5у2.

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у2 — у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)( 2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10). 

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х - 2) + 5(х - 2)2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн, Математика в школі скачати



А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки



Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.


Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Реклама
Просмотры
Реклама










Конец Света - Начало Света
Личные инструменты
...
...
...